إقليدس : من هو وما نظرية اقليدس وشرح النظرية وقوانين اقليدس

عبدالحميد كرم

·

مارس 14, 2020

·

Uncategorized, مقالات

مسلمات اقليدس

«هي قضايا مقرحة ليست بينة بذاتها ننقاد للتسليم بها دون برهان، البرهان عليها يؤدي إلى تناقض»([11]). ولهذا فالمسلمات تكون أقل وضوحا من المبادئ الأخرى، ويتقبلها الرياضي لأنها ضرورية لبناء النسق، ولكن لا يستطيع البرهنة عليها، وإذا ما حول فإنه سيقع في تناقض.

نظريات اقليدس الخمس

من الممكن رسم مستقيم بين نقطتين.
مدّ مستقيم محدود إلى أي طول في أي جهة.
من الممكن رسم دائرة من أي مركز وعلى أي بعد من هذا المركز المساوي لأبعاد نقاط المحيط. وهذه القضايا هي ذات طابع أداتي، أي أنها ترتكز على وسائل كالمدور والمسطرة.
كل الزوايا القائمة هي متساوية
إذا قطع مستقيم مستقيمين , فإن المستقيمين إذا امتدا يتقاطعان في النهاية

وإضافة إلى المسلمات السابقة، أضاف أقليدس المسلمة الرابعة ونصها: كل الزوايا القائمة هي متساوية، ويرى الكثير من الرياضيين أن هذه «المسلمة قابلة للبرهنة من خلال المسلمات السابقة والخصائص العامة للمقادير»([12]). أما عن المصادرة الخامسة

فنصها:

إذا قطع مستقيم مستقيمين وكوّن معهما من ناحية واحدة زاويتين داخليتين، حيث مجموعهما أقل من زاويتين، فإن المستقيمين إذا امتدا يتقاطعان في النهاية في الجهة التي يكون فيها مجموع الزاويتين أقل من قائمتين. وهي المسلمة التي أدت إلى زعزعة الهندسة الإقليدية في القرن التاسع عشر .

بديهيات إقليدس

إن الأكسيومات هي مبادئ واضحة بذاتها لا تحتاج إلى برهان، هي بسيطة إلى درجة أنها لا تتجزأ إلى ما هو أبسط منها، وأطلق عليها إقليدس اسم: الأفكار العامة، ودورها يكمن في التصريح بالخصائص العامة ومميزات المقادير ونذكر البديهيات الأولى:

المقادير المساوية لمقدار ثالث هي متساوية.
إذا أضفنا إلى مقادير متساوية مقاديرا متساوية، فالنواتج الكلية هي متساوية.
إذا طرحنا نفس المقدار من مقادير متساوية، البواقي تكون متساوية.
المقادير التي يمكن أن يطابق أحدها مع الآخر هي متساوية فيما بينها.

وهذا الأكسيوم الأخير أساسي لأنه يقوم بالربط بين «الخصائص العامة للمقادير والهندسة، والمساواة الهندسية مرتبطة بالصدفة أي الحركة»([13]). لكن يبقى السؤال مطروح: هل يتعلق الأكسيوم بتعريف المساواة الهندسية؟ إن الحركة هنا القصد منها حركة الجسم الصلب. ولهذا فهذا الأكسيوم يعرّف المساواة بالتطابق، وهو ما يوقعنا في الدور.

شرح نظرية إقليدس

اذا كنت طالبا بالصف الثاني الإعدادي المصري ,أو طالب في الرياضيات لمراحل ما قبل الجامعة فنحن في هذا الموضوع عن شرح نظرية اقليدس نقدم لك هذا الفيديو البسيط الذي يشرح نظرية اقيلدس شرحا واضح ومبسط :

في هذا الفيديو :

شرح درس نظرية اقليدس هندسة للصف الثاني الاعدادي الترم الثاني | حصة 11
مساحة المربع المنشأ على ضلع القائمة تساوي مساحة المستطيل
الذي بعداه مسقط هذا الضلع على الوتر وطول الوتر
رياضيات – هندسة الصف الثاني الاعدادي الفصل الدراسي الثاني
هندسة ثانية اعدادي ترم تاني , رياضيات ثانية اعدادي ترم ثاني

نظرية اقليدس : مبادئ إقليدس

إن المبادئ التي اعتمدها إقليدس هي ذات طابع تجريبي، وأن قضاياها تنطبق على المواضيع الموجودة في العالم المحسوس، إنها مرتبطة بالمكان،

ولهذا فالهندسة الإقليدية هي بمثابة فيزياء الأشكال المكانية، فيزياء المكان، إنها ترتكز على معطيات حسية تجريبية صدقها مرتبط بالأساس التجريبي من خلال الحدس الهندسي،

«إن الهندسة الإقليدية مميزة بطابعين مرتبطين لكن متمايزين: بمحتواها أي كمجموعة من الخصائص الهندسية للمكان ذو ثلاثة أبعاد، والمستوى ذو بعدين، فقد بقيت ضرورية ومهمة اليوم أيضا، في النظري والتطبيقي. بشكلها، فهي نموذج لعدة أنماط من الاستدلال والذي لعبت دورا معتبرا في تطوير الرياضيات»([14]).

كتاب الأصول لإقليدس

إن محاولات الرياضيين من ساكيري إلى ريمان، أفرزت ثلاث هندسات كما أكد ذلك كفاييس: ([35])

هندسة إقليدية.
هندسة ذات انحناء موجب ثابت (الناقصية).
هندسة ذات انحناء سالب ثابت (الزائدية).
هندسة إقليدس:
مجموع زوايا المثلث 180°.
المكان مستوي.
المستقيم الوحيد المار من M هو موازي لت (D).

ثالثا: المنهج الأكسيومي

تعريف الأكسيوماتيك :Axiomatique

الأكسيوماتيك لغة مشتق من كلمة Axiome والتي تعني البديهية ويعرفه أندري لالاند في معجمه الفلسفي فيقول:

هو دراسة نقدية للبداهات Axiomes على اختلاف معاني هذه الكلمة، والتي تؤخذ مبادئ لاستدلال علم الهندسة.

ما له سمة بداهة وما يصدر عن بداهات، وما يستنتج انطلاقا من هذه البداهات.

وتطلق كلمة Axiome أو البديهية على مبدأ معلوم بأنه صحيح وأن برهانا يصدر عنه، أما المعنى الأكثر تداولا فهو مقدمة قياسية تعد بأنها بينة وتقبل على أنها صحيحة بلا برهان من قبل كل الذين يفهمون معناها، وبنحو خاص هي قضايا بينة بذاتها لمجرد أن نسمع كلماتها»([36]) ويسمى المنهج الذي ينطلق من هذه البديهيات اسم المنهج البديهي أو الأكسيوماتيكي.

إلا أن هناك من يستعمل كلمة المصادرة بدل البديهية، باعتبارها -المصادرة- أكثر شيوعا واستعمالا في أوساط الرياضيين والباحثين ومن ثمة يصبح «الأكسيوماتيك هو العلم الذي يبحث في البديهيات الهندسية»، باعتبارها أول ما ظهر في علم الهندسة([37])،

إلا أن هذا المنهج عمم فيما بعد، وذلك بتعدد مصادرات العلم الذي يوضع له، وأصبح يطلق عليه بالعرض المصادرياتي.

ومن ثمة يصبح المنهج الأكسيوماتيكي «هو مجموع القضايا أو الأوليات التي يختارها الرياضي لبناء نسق رياضي معين وهو ما يصطلح عليه بالأكسيوماتيك باعتباره مجموعة من المبادئ المتجانسة التي لا يمكن التمييز بينها، فهو كما يقال منظومة من الأوليات يقوم عليها كل برهان رياضي»([38]) وبهذا المعنى يصبح مرادفا للمنهج البديهي.

ولعل أهم ما يميز المنهج الأكسيوماتيكي الحديث حسب هذا التعريف هو الرميز والصورنة، فيصبح بذلك هذا المنهج نسقا رمزيا من الحدود والمسلمات الأولية، فارغة من أي مضمون حدسي، تحكمها مجموعة من القواعد التي تضمن سلامة استعمالها. وعليه فإن الرياضي في هذا المنهج لم يعد يهتم بالأوليات،

بل بالعلاقة التي تقوم بينها، وحتى يتمكن من الانصراف التام إلى هذه العلاقات ويتحرر تحررا تاما من تأثير المعنى الواقعي المشخص الذي تحمله هذه الأوليات،

\

فإنه يلجأ إلى استعمال الرموز، وبالتالي الاستغناء تماما عن اللغة الطبيعية العادية، وهذه الرموز هي رموز تامة يمكن أن توضع مكان أية كلمة، وبذلك يتحول الكلام العادي إلى جبر وهو ما يسمى بالرمزية أو الصياغة الصورية البحتة. ([39])

من هنا تصبح مصادرات أي نظرية استنتاجية كما يقول روبير بلانشيه: «ليست قضايا قابلة للصدق أو الكذب لأنها تحتوي على متغيرات غير محددة نسبيا،

بل عندما فقط نعطي هذه المتغيرات قيما معينة، أو بعبارة أخرى عندما تحل محلها ثوابت، فإن المصادرات ستصبح قضايا صادقة أو كاذبة حسب اختيارنا لهذه الثوابت، لكننا عندئذ نخرج من المصادريات كي تنتقل إلى تطبيقاتها، ومعادلات نسق واحد هي أفضل ما نشبه به المصادرات، فإن هذه المصادرات مجرد دوال قضوية»([40])

ومن ثمة فإن النسق الاكسيوميفي نظر بلانشيه هي الصورة التامة التي تتخذها اليوم النظرية الاستنتاجية «يصرح فيه تماما بالحدود غير المعرّفة والقضايا غير المبرهنة على أساس أن هذه الأخيرة توضع كمجرّد فرضيات يمكن أن تبني منها جميع قضايا النسق وفقا لقواعد وقع تقريرها بشكل تام وصريح»([41]).

والمقصود بالقواعد التي يسير وفقها هذا المنهج هي قواعد المنطق، ولهذا اعتبر الأكسيوماتيك منهجا «أحل المنطق محل الحدس»([42])

وبالتالي فإن هذا التطور الذي شهدته الهندسة الحديثة جعلها تتميز عن سابقتها، «إذا كانت الهندسة التقليدية تبدو في آن واحد عقلية وحدسية، فذلك لأنها تجمع وتدمج في علم واحد علمين متمايزين، علمتنا المصادريات

-كما يقول بلانشيه- فيما بعد أن نفصل بينهما فإما أن تقرأ كتابا في الهندسة التقليدية بصفته بناء مصادرايتها خالصا تفقد فيه حدوده معناها الحدسي، وتقاس صحته بتماسكه المنطقي فقط أو على العكس من ذلك أن نعيد لحدوده وقضاياه دلالته الحدسية الأولى، لكننا عندئذ نكون أمام علم من علوم الواقع بديهياته ومبرهناته هي في الواقع قوانين فيزيائية»([43]).

أي أنه بفضل الصياغة الأكسيومية تم الفصل بين الجانب النظري والجانب التطبيقي، وأصبح هذان الجانبان عبارة عن علمين مختلفين تماما أحدهما مجرد وهو ما يتجلى مثلا في الهندسة النظرية، والآخر مشخص كالهندسة التطبيقية،

الشيء الذي دفع بعدد من الفلاسفة التجريبيين في القرن 20 إلى الفصل نهائيا في العلوم بين مجموعتين مختلفتين:

العلوم المنطقية الرياضية وهي صورية محضة، فارغة من كل دلالة موضوعية

والعلوم الأخرى: علوم الطبيعة والإنسان، علوم الواقع المشخص، وعلوم التجربة.

كما أصبح ينظر كذلك لكل علم من زاويتين:

زاوية منطقية صورية وزاوية مشخصة تجريبية، ومن ثمة أصبح بإمكان الرياضيات أن تقرأ على مستويين: مستوى أكسيومي تجريبي صوري، ومستوى تجريبي واقعي محض. ولقد عبر أنشتاين عن هذا التغير في المفاهيم الرياضية الحديثة بقوله: «ولهذا فالرياضيات الحديثة تتحلل من كل محتوى فهي شكلية خالصة، فكلمة نقطة أو خط أو أمثالها تشير في الرياضيات الحديثة إلى مفهومات خالية من كل محتوى»([44]).

عبدالحميد كرم